有限域向量空间中大构型的同余类

Bennett、Hart、Iosevich、Pakianathan和Rudnev发现了一个指数 $s<d$，使得任意集合 $E\subset \mathbb{F}_q^d$ 满足 $|E|\gtrsim q^s$ 时，可确定 $\gtrsim q^{\binom{k+1}{2}}$ 个 $(k+1)$ 点构型的同余类（对 $k\leq d$）。因为当 $k\leq d$ 时，同余类可与不同点之间的距离元组等同，且有 $\binom{k+1}{2}$ 对这样的点，这意味着任意这样的 $E$ 确定了所有同余类的正比例部分。在 $k>d$ 的情形中，固定所有距离对导致一个超定系统，因此 $q^{\binom{k+1}{2}}$ 不再是同余类的正确数目。我们确定了正确的数目，并证明对与 $k\leq d$ 情形相同的 $s$，满足 $|E|\gtrsim q^s$ 仍确定了所有同余类的正比例部分。