球面与积空间中的共形双调曲面

共形双能量泛函 $E_2^c$ 是经典双能量泛函 $E_2$ 的一种修改版本，在四维域中具有共形不变性。 $E_2^c$ 的临界点称为共形双调和，记为 $c$-双调和。在论文的第一部分我们研究具有常数主曲率的共形双调曲面 $M^m$ 位于积空间 ${\mathbb L}^m(\varepsilon) \times \mathbb{R}$ 中，其中 ${\mathbb L}^m(\varepsilon)$ 表示常数截面曲率为 $\varepsilon$ 的空间形式。具体而言，我们证明 $M^m$ 要么是全纤测地，要么是形式为 $M^{m-1} \times \mathbb{R}$ 的柱面曲面，其中 $M^{m-1}$ 是 ${\mathbb L}^m(\varepsilon)$ 中具有共形双调性的等参曲面。在本文的第二部分，我们获得了在 $\mathbb{S}^{m+1}$ 中等参 $c$-双调曲面的完整描述，并对 $m=2,3$ 且在 $m=4$ 附加假设下具有常数标量曲率的 $c$-双调曲面的完整分类。在此背景下，我们还证明了关于 $\mathbb{S}^5$ 中紧致 $c$-双调嵌入的全局结果。在论文的最后一部分，作为理解 ${\mathbb L}^m(\varepsilon) \times \mathbb{R}$ 中具有非常数均值曲率的 $c$-双调曲面的初步努力，我们建立了全等张力 $c$-双调曲面必然为全纤测地的结论。