条件对称性与约束极小超空间作用量的正则量子化：Schwarzschild 情形

在速度二次型的约束作用量的相空间中，条件对称性被定义为超度规和超势的同时共形对称性。已证明此类对称性对应于变分（Noether）对称性。将这些对称性作为波函数的量子条件使用，会产生一种选择定则。作为一个示例，我们对通过考虑静态球对称构型并将 $r$ 作为独立动力学变量，由 Einstein-Hilbert 作用量约化而得的极小超空间模型进行了正则量子化。该约化作用量的条件对称性被用作波函数的补充条件。其可积条件在第一阶段规定，三个现有对称性中只有一个可以一致地施加。在第二阶段，导出了唯一的 Casimir 不变量，即剩余两个对称性的乘积，作为对 $\Psi$ 的唯一可能的第二个条件。动力学演化的唯一性意味着需要将此二次运动积分识别为重参数化生成元。这可以通过固定 $r$-lapse 函数的合适参数化来实现，利用任意缩放它的自由度。在这种特定参数化中，测度被选为超度规的行列式。联合 Wheeler-DeWitt 方程和线性条件对称性方程的解已被找到，并显示其依赖于两个“尺度因子”的乘积。