射影簇与变动线性子空间相交的条件数

研究了将一个固定的 $m$ 维不可约复射影簇 $Z\subseteq\mathbb{P}^n$ 与维数为补维 $s=n-m$ 的变动线性子空间 $L\subseteq\mathbb{P}^n$ 相交问题的数值条件。我们在光滑交点 $z\in Z\cap L$ 处定义相交条件数 $\kappa_Z(L,z)$ 为局部定义的解映射 $\mathbb{G}(s,\mathbb{P}^n)\to\mathbb{P}^n,\, L\mapsto z$ 的导数范数。我们证明 $\kappa_Z(L,z) = 1/\sin\alpha$，其中 $\alpha$ 是切空间 $T_zZ$ 与 $T_zL$ 之间的最小夹角。由此，我们推导出一个条件数定理，将 $1/\kappa_Z(L,z)$ 表示为 $L$ 到局部 Schubert 簇的距离，该簇由在 $z$ 处与 $Z$ 有不适定相交的线性子空间组成。对所有交点 $z_i\in Z\cap L$ 取最大值的条件数 $\kappa_Z(L) := \max \kappa_Z(L,z_i)$ 的概率分析引向研究 Hurwitz 超曲面 $\Sigma(Z)$ 周围管的体积。作为第一步，我们用 $\Sigma(Z)$ 的次数表示其体积。