基于 NURBS 的椭圆偏微分方程等几何离散化中矩阵的条件数估计

我们推导了开有界单连通 Lipschitz 域 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$（$d\in\{2,3\}$）中椭圆偏微分方程等几何离散化矩阵的最小和最大特征值及谱条件数的界。我们考虑基于网格尺寸 $h$ 和多项式次数 $p$ 的细化，其中样条基函数具有最大正则性。对于 $h$-细化，刚度矩阵的条件数以常数乘以 $h^{-2}$ 为上界，而质量矩阵的条件数是一致有界的。对于 $p$-细化，条件数呈指数增长，刚度矩阵和质量矩阵的条件数上界分别为 $p^{2d+2}4^{pd}$ 和 $p^{2d}4^{pd}$。本文提供了这些估计的严格理论证明及支持的数值结果。