声学中组合位势积分算子的条件数估计及其边界元离散化

我们考虑经典耦合组合场积分方程公式，用于声软有界障碍物的时谐声散射。在最近的工作中，我们证明了这些公式的$L^2$条件数的下界和上界，以及经典声学单层和双层位势算子的范数。这些界限在一定程度上明确了条件数对波数$k$、散射体几何形状和耦合参数的依赖性。例如，在通常的耦合参数选择下，它们表明，当散射体为圆或球时，条件数随$k\to\infty$增长如$k^{1/3}$，而对于一类“俘获”障碍物，条件数可增长快至$k^{7/5}$。在本文中，我们证明了进一步的界限，精炼并扩展了我们之前的结果。特别地，我们表明存在俘获障碍物，对于这些障碍物，条件数随$k\to\infty$通过某个序列增长快至$\exp(\gamma k)$，其中$\gamma>0$。这一结果依赖于我们在附录中证明的椭圆中Laplace本征函数的指数局部化界限。我们还澄清了低$k$时二维中耦合参数的正确选择。在论文的第二部分，我们专注于这些算子的边界元离散化。我们讨论了连续算子的界限在多大程度上也由其离散对应物满足，并通过数值实验，为一些定量和渐近的理论结果提供了支持证据，进一步指出了哪些上界和下界可能更尖锐。