对数凹密度下 Lévy 不等式与 Poincaré 不等式之间的集中现象

给定一个适当归一化的 $X\in\mathbb{R}^n$，我们观察到定义在 $\theta\in S^{n-1}$ 上的函数 $\theta\mapsto\mathbb{E}|X\cdot\theta|$ 呈现出令人惊讶的强集中现象，远超基于 Lévy 等周不等式所预期的程度。上述结论适用的测度包括所有对数凹测度，对于这些测度，关于第三边缘矩 $\theta\mapsto\mathbb{E} (X\cdot \theta)^3$ 的类似问题的解将蕴含超平面猜想。