埃尔丹随机局部化与 KLS 猜想：等周性、集中性与混合

我们证明 $n$ 维各向同性对数凹测度的 Cheeger 常数为 $O(n^{1/4})$，改进了此前 $O(n^{1/3}\sqrt{\log n})$ 的最佳界。作为推论，我们在薄壳估计、Poincaré 常数和 Lipschitz 集中常数上获得了同样的改进界，并为各向同性（切片）常数提供了该界的另一种证明；由此还可得出，在 ${\bf R}^{n}$ 中从热启动对各向同性对数凹密度进行采样的球游走 (ball walk) 在 $O^{*}(n^{2.5})$ 步内收敛。证明基于通过鞅过程将任意对数凹密度逐步转化为具有显著高斯因子的密度。扩展这一证明技术，我们证明了 ${\bf R}^{n}$ 中支撑集直径为 $D$ 的任意各向同性对数凹密度的对数 Sobolev 常数为 $\Omega(1/D)$，解决了 Frieze 和 Kannan 在 1997 年提出的一个问题。这是渐近最优的估计，并改进了 Kannan-Lovász-Montenegro 此前 $\Omega(1/D^{2})$ 的界。由此得出，对于任意各向同性对数凹密度，步长 $\delta=\Theta(1/\sqrt{n})$ 的球游走从任意起点出发在 $O\left(n^{2}D\right)$ 适当步内混合。这改进了此前 $O(n^{2}D^{2})$ 的最佳界，且也是渐近紧的。新界导出了各向同性对数凹密度 $p$ 上 $L$-Lipschitz 函数 $g$ 的如下大偏差不等式：对任意 $t>0$，$$Pr_{x\sim p}\left(\left|g(x)-\bar{g}\right|\geq L\cdot t\right)\leq\exp(-\frac{c\cdot t^{2}}{t+\sqrt{n}})$$ 其中 $\bar{g}$ 是 $x\sim p$ 时 $g$ 的中位数或均值；这推广并改进了 Paouris 和 Guedon-Milman 先前的界。该技术还以 Cheeger 常数界定了“小球”概率，并恢复了当前的最佳界。