计算图的最大键与最大连通割

图 $G=(V,E)$ 的割集 $\partial(S)$ 是一端在 $S\subset V$ 中、另一端在 $V\setminus S$ 中的边集合，且当 $G[S]$ 连通时，图 $G$ 的割 $[S,V\setminus S]$ 被称为连通割。图 $G$ 的键是 $G$ 的一个包含意义下的极小断开集，即键是确定图 $G$ 的割 $[S,V\setminus S]$ 使得 $G[S]$ 和 $G[V\setminus S]$ 均连通的割集。与大量关于最大割的研究形成对比的是，关于一般图的最大键的结果非常少。在本文中，我们旨在缩小计算图的最大键和最大连通割的复杂度方面的这一差距。尽管割和键相似，我们指出计算图的最大键和最大连通割往往比计算其最大割更难。我们表明，除非 P = NP，否则不存在计算最大键的常数因子近似算法。此外，我们表明 {\sc Largest Bond} 和 {\sc Maximum Connected Cut} 即使对于平面二部图也是 NP 困难的，而 \textsc{Maximum Cut} 在二部图上是平凡的，在平面图上可在多项式时间内求解。另外，我们表明 {\sc Largest Bond} 和 {\sc Maximum Connected Cut} 在分裂图上是 NP 困难的，且在限制于团宽为 $w$ 的图时，除非指数时间假设失败，否则它们不能在 $f(w)\times n^{o(w)}$ 时间内求解，但可以在 $f(w)\times n^{O(w)}$ 时间内求解。最后，我们表明当以解的大小、树宽和孪生覆盖数作为参数时，这两个问题都是固定参数可解的。