Scharlau 不变量的计算，I

Scharlau 不变量决定一个有限群在域上是否具有无不动点表示：若为 $0$，则有，否则无。迄今已知其为 $0$、$1$、$p$、$p^2$ 之一，其中 $p$ 为整除群阶的素数。我们排除了 $p^2$ 的可能性。Scharlau [Sch] 的工作将问题化简为上述列表，其中对于群 $\text{SL}_2({\Bbb Z}_p)$（$p$ 为大于 $5$ 的费马素数）$p^2$ 是可能的。第二作者毕业论文 [Y] 中使用 GAP 的计算解决了 $p = 17$ 的情形。受此推动，我们找到了一个不需计算机即可证明该结果的简短证明。