完全映射与正交集的复合与奇偶性

我们确定了由有限域 $\mathbb{F}_q$ 的完全映射与正交集分别生成的置换群 $P_{\mathrm{comp}}(\mathbb{F}_q),P_{\mathrm{orth}}(\mathbb{F}_q)\leq\operatorname{Sym}(\mathbb{F}_q)$——除 $q\in\{2,3,4,5,8\}$ 外,二者均等于 $\operatorname{Sym}(\mathbb{F}_q)$。更一般地,记 $P_{\mathrm{comp}}(G)$ 与 $P_{\mathrm{orth}}(G)$ 分别为由群 $G$ 的完全映射与正交集在 $\operatorname{Sym}(G)$ 中生成的子群。利用 Eberhard-Manners-Mrazovi\'c 与 M\"uyesser-Pokrovskiy 的近期结果,我们证明:对每个足够大的、具有完全映射(即其 Sylow $2$-子群平凡或非循环)的有限群 $G$,有 $P_{\mathrm{comp}}(G)=\operatorname{Sym}(G)$ 且 $P_{\mathrm{orth}}(G)\geq\operatorname{Alt}(G)$。我们还证明,对每个足够大的、具有完全映射的有限可解群 $G$,有 $P_{\mathrm{orth}}(G)=\operatorname{Sym}(G)$。证明这些结果需要我们研究完全映射与正交集的奇偶性。文中还讨论了其与密码学中已知结果以及拉丁方奇偶性类型的一些联系。