匹配与圆柱的熵

图的完美匹配计数等价于二聚体问题,该问题在统计物理中有应用。若阶为 n 的循环群是图 G 的自同构群的子群,则称图 G 是 n-旋转对称的。Jockusch (Perfect matchings and perfect squares, J. Combin. Theory Ser. A, 67(1994), 100-115) 与 Kuperberg (An exploration of the permanent-determinant method, Electron. J. Combin., 5(1998), #46) 独立证明了:若 G 是阶为 N 且具有 2n-旋转对称性的平面二部图,则 G 的完美匹配数可表示为 N/2n 阶的 n 个行列式的乘积。本文给出这一结果的一种新表述。我们利用该结果计算具有 2n-旋转对称性的体相平面二部格的熵。我们对两类圆柱给出了完美匹配数与熵的显式表达式。利用 Kenyon、Okounkov 与 Sheffield (Dimers and amoebae, Ann. Math. 163(2006), 1019--1056) 以及 Salinas 与 Nagle (Theory of the phase transition in the layered hydrogen-bonded $SnCl^2\cdot 2H_2O$ crystal, Phys. Rev. B, 9(1974), 4920--4931) 所得到的环面熵结果,我们证明了所考虑的每种圆柱与其对应环面具有相同的熵。最后,我们提出一些问题。