平均散射解的完备性及固定能量下的逆散射

我们证明，对具有短程电磁势 $(V,A)$（其中 $V(x)=O(|x|^{-\rho}), A(x)= O(|x|^{-\rho}), |x| \to \infty, \rho >1$）的薛定谔方程，其平均散射解在一切位于 $L^2(K)$ 中的薛定谔方程解之集合中稠密，其中 $K$ 是 $\ere^n,n\geq 2,$ 中任一具有光滑边界的连通有界开集。我们利用此结果证明：若 $\ere^n, n\geq 3,$ 中两个短程电磁势 $(V_1,A_1)$ 与 $(V_2,A_2)$ 在某一固定正能量处具有相同的散射矩阵，且电势能 $V_j$ 与磁场 $F_j:={\rm curl} A_j, j=1,2,$ 在某球外重合，则它们必处处重合。在 Weder 与 Yafaev 先前的一篇论文中，研究了在无穷远处为齐次项渐近和的电势能及磁场情形。已证明所有这些项均可由固定正能量处散射振幅在前向方向上的奇异性唯一重构。本文新唯一性结果与 Weder 及 Yafaev 结果的结合意味着：固定正能量处的散射矩阵唯一确定在无穷远处为齐次项有限和的电势能及磁场，或更一般地，确定那些分别为电势能和磁场之实际收敛的齐次项渐近和。