生物网络形成 PDE 模型两种解释的对比

我们对比了两个偏微分方程（PDE）系统的解，它们被视为描述复杂生物网络形成的同一模型的两种不同解释。两种方法均考虑流经网络的介质的时变演化，并计算关于传导向量 $m$、传导张量 $\mathbb{C}$ 与压力 $p$ 的椭圆-抛物 PDE 系统的解。我们在空间二维情形下采用均匀笛卡尔网格上的有限差分格式求解这两个系统，其中抛物方程通过时间半隐式格式求解。由于传导向量与张量亦出现在压力 $p$ 的泊松方程中，椭圆方程隐式依赖于时间。为此，我们在传导向量 $m\in\mathbb{R}^2$ 情形下每个时间步求解三个线性系统，在对称传导张量 $\mathbb{C}\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ 情形下求解四个线性系统。为加速模拟，我们采用交替方向隐式（ADI）方法。参数在获取精细解中作用重要。我们提供了涉及各参数不同取值的大量测试，以观察两系统解的差异。