P$^2$C$^2$Net：用于高效预测时空动态的偏微分方程保持粗网格校正网络
数值分析
2024-11-04 v1 人工智能
机器学习
数值分析
摘要
在求解偏微分方程 (PDEs) 时，经典数值方法通常需要精细的网格和小时的时间步长以满足稳定性、一致性和收敛性条件，这导致了高昂的计算成本。近年来，机器学习越来越多地被用于求解 PDE 问题，但它们常常面临可解释性、泛化性以及对丰富标记数据的强依赖性等挑战。因此，我们引入了一种新的偏微分方程保持粗网格校正网络 (PCNet)，以在小数据条件下高效求解粗网格上的时空 PDE 问题。该模型由两个协同模块组成：(1) 一个可训练的 PDE 模块，基于带有边界条件编码的高阶数值格式，学习更新粗解（即系统状态）；(2) 一个神经网络模块，持续动态地校正解。特别地，我们提出了一种可学习的对称卷积滤波器，其权重在整个模型中共享，以基于经神经网络校正的系统状态准确估计 PDE 的空间导数。由此产生的物理编码模型能够处理有限的训练数据（例如，3-5 条轨迹），并在保持高精度的同时加速粗时空网格上 PDE 解的预测。PCNet 在涵盖复杂反应扩散过程和湍流的四个数据集上，实现了持续的最先进性能，相对预测误差等指标增益超过 50%。
引用
@article{arxiv.2411.00040,
title = {P$^2$C$^2$Net: PDE-Preserved Coarse Correction Network for efficient prediction of spatiotemporal dynamics},
author = {Qi Wang and Pu Ren and Hao Zhou and Xin-Yang Liu and Zhiwen Deng and Yi Zhang and Ruizhi Chengze and Hongsheng Liu and Zidong Wang and Jian-Xun Wang and Ji-Rong_Wen and Hao Sun and Yang Liu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2411.00040},
year = {2024}
}