无穷大各向同性随机矩阵乘积的交换律

各向同性随机矩阵系综由其概率测度在任意酉矩阵左乘（和右乘）下的不变性所定义。我们表明，在矩阵尺寸无限大 $N \rightarrow \infty$ 的极限下，大型各向同性随机矩阵的乘法在谱上是交换的且具有自平均性。谱交换性的概念意味着此类矩阵乘积 ABC... 的特征值密度与矩阵乘法顺序无关，例如矩阵 ABCD 具有与 ADCB 相同的特征值密度。反过来，自平均性的概念意味着 n 个独立但同分布的随机矩阵的乘积（我们符号化地表示为 AAA...），具有与从底层矩阵系综中抽取的单个矩阵的相应幂 A^n 相同的特征值密度。例如，ABCCABC 的特征值密度与 A^2B^2C^3 相同。我们还讨论了各向同性矩阵及其乘积在小特征值 $\lambda \rightarrow 0$ 时的特征值密度和奇异值密度的奇异行为。我们表明，在 $N \rightarrow \infty$ 极限下，特征值密度在原点的奇异性与奇异值密度的奇异性之间存在一一对应关系：当且仅当其奇异值密度具有幂律奇异性 $\sim \lambda^{-\sigma}$ 且幂次 $\sigma = s/(4-s)$ 时，各向同性随机矩阵的特征值密度在原点具有幂律奇异性 $\sim |\lambda|^{-s}$，其中幂次 $s \in (0,2)$。这些结果是在 $N \rightarrow \infty$ 极限下解析获得的。我们用针对大型但有限 N 的数值模拟补充了这些结果，并讨论了最常见各向同性随机矩阵系综的有限尺寸效应。