上同调维数、连通性与 Lusternik–Schnirelmann 范畴

Dranishnikov~\cite{D2} 证明了 $${\rm cat} X\leq {\rm cd}(\pi_1(X))+\Bigl\lceil\frac{{\rm hd} (X)-1}{2}\Bigr\rceil,$$ 其中 ${\rm cd}(\pi)$ 表示群 $\pi$ 的上同调维数，${\rm hd}(X)$ 表示 $X$ 的同伦维数。此外，Grossman~\cite{G} 有一个著名的不等式：$${\rm cat} X\leq \Bigl\lceil\frac{{\rm hd} (X)}{k+1}\Bigr\rceil \text{ 若 } \pi_i(X)=0 \text{ 对 } i\leq k.$$ 我们对这两个结果进行了综合与推广，证明了主要结果：$${\rm cat}\leq {\rm cd}(\pi_1(X))+\Bigl\lceil\frac{{\rm hd} (X)-1}{k+1}\Bigr\rceil \text { 若 }\pi_i(X)=0 \text{ 对 } i=2, \ldots, k.$$ 主要定理的证明使用了 Oprea–Strom 不等式 ${\rm cat} X\leq {\rm hd} (B\pi_1(X))+{\rm cat}^1X$，\cite{OS} 其中 ${\rm cat}^1$ 是 Clapp-Puppe 的 ${\rm cat} \mathcal{A}$，而 $\mathcal{A}$ 为 1 维 CW 复形的类。该不等式澄清了 Dranishnikov 不等式。