计数近似群的准同态的 Hurewicz 类命题

在 2006 年, A. Dranishnikov 和 J. Smith 证明了若 $f:G\to H$ 为群同态, 则渐近维数公式成立: $\operatorname{asdim} G \leq \operatorname{asdim} H + \operatorname{asdim} (\ker f)$. 此结果源自 1927 年 W. Hurewicz 在经典维数理论中的定理, 并被冠以 Hurewicz 名称.本文建立了类似 Dranishnikov 和 Smith 的公式, 适用于以下情形:当 $(\Xi, \Xi^\infty)$ 和 $(\Lambda,\Lambda^\infty)$ 为计数近似群且 $f:(\Xi, \Xi^\infty) \to (\Lambda,\Lambda^\infty)$ 为一般准同态(即无需对称或单位), 时, 以下公式成立: $$\operatorname{asdim} \Xi \leq \operatorname{asdim} \Lambda + \operatorname{asdim} \left(f^{-1}\left(f(e_\Xi)D(f)^{-1}D(f)\right)\right),$$ 其中 $D(f)$ 为 $f$ 的缺陷集.作为推论, 若 $f:G\to H$ 为计数群的准同态, 则 $\operatorname{asdim} G\leq \operatorname{asdim} H + \operatorname{asdim} \left(f^{-1}\left(f(e_\Xi)D(f)^{-1}D(f)\right)\right)$.