无限环路空间的 Adams 滤过与广义 Hurewicz 映射

我们研究了从谱 $X$ 的同伦群到其第 0 个空间 $X(0)$ 的 $R$-同伦的 Hurewicz 映射 $h$，其中 $R$ 是一个连通的交换 $S$-代数。我们证明了与基于 $R$ 的 Adams 解消相关的 $h$ 定义域的递减滤过，与同 $X(0)_+$（一个增广交换 $S$-代数）的悬垂谱相关的增广理想滤过是相容的。证明利用了该滤过与拓扑 Andre Quillen 同伦之间的相互作用。一个应用是连通性定理：在素数 $p$ 处局部化，并假设 $X$ 对某个正数 $c$ 是 $(c-1)$-连通的。如果 $f \in \pi_*(X)$ 具有 Adams 滤过 $s$ 且 $|f| < cp^s$，则 $f$ 在 $R_*(X(0))$ 中映射为零。由此得出的一个应用是有限性定理：如果 $X$ 的模 $p$ 上同调作为 Steenrod 代数上的模是有限展示的，那么 $X(0)$ 的模 $p$ Hurewicz 映射的像是有限的。我们通过计算 $BO$、其连通覆盖以及 $tmf(0)$ 的模 2 Hurewicz 像，以及 $BP$ 和 $BP\langle n \rangle$ 谱中所有空间的模 $p$ Hurewicz 像来说明这些定理。在此过程中，我们获得了 Milnor 和 Wilson 定理的新证明。在 $X$ 是悬垂谱且 $R = H\mathbb{Z}/2$ 的特殊情况下，我们恢复了 Lannes 和 Zarati 在 20 世纪 80 年代宣布的结果（尽管证明完全不同），并将其推广到所有素数 $p$。我们还得到了针对 Morava $E$ 理论和所有 $X$ 的 Hurewicz 映射的色散版本。