具有渐近常系数的 CMV 矩阵：Szeg"o-Blaschke 类与散射理论

我们为具有渐近常 Verblunsky 系数的 CMV 矩阵发展了现代扩展散射理论。我们证明了在某种“加权”Hilbert 空间（我们称之为 Fadeev-Marchenko (FM) 空间）中的正交系，其渐近行为与标准（自由）情形下的系统一致。其中两类 Hardy 子空间之间的对偶性在证明所有相关渐近性中起到了关键作用。我们指出，传统的 (Faddeev-Marchenko) 条件对于定义存在唯一散射表示的 CMV 矩阵类而言过于严格。主要结果如下：1) Szeg"o-Blaschke 类：作用于 $l^2$ 的双侧 CMV 矩阵类，其谱密度满足 Szeg"o 条件且点谱满足 Blaschke 条件，精确对应于可以提出并求解散射问题的类。也就是说，对于该类中的给定 CMV 矩阵，可以关联散射数据及与之相关的 FM 空间。该 CMV 矩阵对应于此空间中的乘法算子，而其中的正交基（对应于 $l^2$ 中的标准基）的渐近行为与自由系统相关的基一致。2) $A_2$-Carleson 类：从散射问题的角度来看，最自然的 CMV 矩阵类是满足以下条件的类：a) 散射数据唯一确定矩阵；b) 相关的 Gelfand-Levitan-Marchenko 变换算子是有界的。该类的充要条件可以用绝对连续谱密度的 $A_2$ 型条件和离散谱的 Carleson 型条件来表述。类似的接近最优的条件也可直接用散射数据给出。