Clifford 代数与 Euclid 的毕达哥拉斯三元组参数化

我们证明，毕达哥拉斯三元组的 Euclid 参数空间具有自然的辛结构，并作为 Clifford 代数 $\mathbb{R}_{2,1}$ 的旋量空间出现，其极小版本可被概念化为“四元数”的 4 维实代数。我们注意到，这使得 Euclid 的参数化成为旋量概念的最早出现。我们给出了 Minkowski 空间旋量表示的“神奇对应”的类比，并展示了 Hall 矩阵如何融入该方案。后者获得了作为 Apollonian 垫圈特定对称性的有趣且或许出乎意料的几何意义。我们提出了向更多变量的扩展，并给出了生成所有毕达哥拉斯四元组、六元组和十元组的显式公式。