欧拉二项式与 Sheffer 偏序集的阶乘函数分类

我们给出欧拉二项式偏序集的阶乘函数的完全分类。阶乘函数 B(n) 要么与 $n!$ 一致（无限布尔代数的阶乘函数），要么与 $2^{n-1}$ 一致（无限蝴蝶偏序集的阶乘函数）。我们也对欧拉 Sheffer 偏序集的阶乘函数进行了分类。具有二项式阶乘函数 $B(n) = n!$ 的欧拉 Sheffer 偏序集，其 Sheffer 阶乘函数 D(n) 与以下三者之一相同：无限布尔代数、插入两个新余原子的无限布尔代数，或无限立方偏序集。此外，我们能够将以二项式阶乘函数 $B(n) = 2^{n-1}$ 的欧拉 Sheffer 偏序集的 Sheffer 阶乘函数分类为秩 1 和 2 被修改的倒置树的加倍。当我们进一步要求给定的欧拉二项式或欧拉 Sheffer 偏序集是格时，这将迫使该偏序集为无限布尔代数 $B_X$ 或无限立方格 $C_X^{< \infty}$。我们也给出了几个与无限立方偏序集有相同阶乘函数的偏序集构造，表明对欧拉 Sheffer 偏序集进行分类是一个困难的问题。