虚二次域的类数可除性

在本注记中，我们重访 Soundararajan 关于虚二次域类群的经典工作。设 $A,B,g \ge 3$ 为满足 $\gcd(A,B)$ 无平方因子的正整数。我们改进 Soundararajan 的结果以表明：若 $4 \nmid g$，或 $A$ 与 $B$ 满足特定条件，则满足 $D \equiv A \pmod{B}$ 且下至 $-X$ 的负无平方因子数 $D$ 中，使得 $\mathbb{Q} (\sqrt{D})$ 的理想类群包含 $g$ 阶元素的个数以下界 $X^{\frac{1}{2} + \epsilon(g) - \epsilon}$ 估计，其中指数与 Soundararajan 定理中相同。将此与 Frey 的一个定理结合，我们给出某些椭圆曲线的二次扭曲中 $p$-Selmer 群秩至少为 $2$ 的个数的下界，其中 $p \in \{3,5,7\}$。