阻尼开普勒问题中的圆化现象

在本文中，我们重新审视了具有一般非线性阻尼力族（大小为 $\delta \vert u\vert^{\beta}\vert \dot u\vert^{\alpha+1}$，取决于三个参数 $\delta>0,\alpha\ge 0$ 和 $\beta\ge 0$）的阻尼开普勒问题，并探讨了轨道在接近太阳时趋于变得更圆的圆化一般问题。我们的方法基于动力系统理论，使用爆破和去奇异化作为我们的主要技术工具。我们发现 $\gamma=\alpha+2\beta-3$ 是一个重要量，其中特例 $\gamma=0$ 将偏心率收敛于零的圆化（$-3<\gamma<0$），即当 $u(t)\rightarrow 0$ 时 $e(t)\rightarrow 0$，与当 $u(t)\rightarrow 0$ 时 $e(t)\rightarrow 1$ 的情况（$\gamma>0$）区分开来，两者均发生在初始条件的开集上。我们发现 $-3<\gamma<0$ 时的圆化是由于三维简化问题（在爆破坐标下是解析的）的零-Hopf 平衡点（即特征值为 $\pm i \omega,0$）的渐近稳定性所致。因此，这种吸引不是双曲的，特别是不被标准动力系统理论所涵盖。相反，我们利用关于零-Hopf 标准型的最新结果，在局部将系统转化为可以直接解决稳定性问题的形式。我们相信我们的方法可以用来描述无界解。