圆值 Morse 理论与 Reidemeister 扭

设 $X$ 为欧拉示性数为零的闭流形，$f: X \to S^1$ 为圆值 Morse 函数。我们定义了一个不变量 $I$，它计算 $f$ 的梯度的闭轨道，以及临界点之间的流线。我们证明该不变量等于 Turaev [Math. Res. Lett. 4 (1997) 679-695] 定义的一种拓扑 Reidemeister 扭形式。我们在前一篇文献 [Topology, 38 (1999) 861-888] 中证明了类似结果，但本文通过按同调类分离闭轨道与流线对其进行了细化（之前仅考虑它们与固定水平集的交数）。此处的证明独立于先前证明且更简洁。除 Morse 理论意义外，此工作还受以下事实驱动：当 $X$ 为三维且 $b_1(X)>0$ 时，不变量 $I$ 等于我们前文猜想等于 $X$ 的 Seiberg-Witten 不变量的计数不变量 $I_3(X)$。我们的结果结合该猜想，蕴含 Seiberg-Witten 不变量等于 Turaev 扭。这由 Turaev [Math. Res. Lett. 4 (1997) 679-695] 猜想，并精炼了 Meng 与 Taubes [Math. Res. Lett. 3 (1996) 661-674] 的定理。