时空的色数

我们注意到 Graham 的一个旧定理蕴含：对任意正整数 $s$，存在某正整数 $T(s)$，使得 $\mathbb{Z}^2$ 的每种 $s$ 着色都包含单色点对 $(x,y),(x',y')$，满足 $(x-x')^2 - (y-y')^2 = (T(s))^2$。通过缩放，这意味着 $\mathbb{Q}^2$ 的每种有限着色都包含单色点对 $(x,y),(x',y')$，满足 $(x-x')^2 - (y-y')^2 = 1$，这以一种强意义回答了 Kosheleva 与 Kreinovich 关于 Hadwiger-Nelson 问题的伪欧氏类比问题。Graham 定理的证明依赖于 van der Waerden 定理的反复应用，因此所得函数 $T(s)$ 增长极快。我们在具有第二空间维度的较弱设定下给出另一种证明，从而得到显著改进的界。更确切地说，我们证明对每个满足 $r\equiv 2 \pmod{4}$ 的正整数 $s$，$\mathbb{Z}^3$ 的每种 $s$ 着色都包含单色点对 $(x,y,z),(x',y',z')$，使得 $(x-x')^2 + (y-y')^2 - (z-z')^2 = (5^{(s-2)/4}(8\cdot 5^{(s-2)/2})!)^2$。事实上，我们证明了更强的密度版本。$\mathbb{Z}^2$ 中的密度版本仍属开放问题。