绘制 $q$-Askey 图式。II. $q$-Zhedanov 图式

Tom H. Koornwinder

doi:10.1016/j.indag.2022.12.003 10.1016/j.indag.2023.05.006

绘制 $q$-Askey 图式。II. $q$-Zhedanov 图式

经典分析与常微分方程 2023-10-19 v3

作者: Tom H. Koornwinder

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摘要

这是旨在探索区分 $q$ -Askey 图式中各族的概念性方法以及各族统一参数化方式的一系列论文中的第二篇。对于 $q$ -Askey 图式中满足 $Lp_n=h_np_n$ 的多项式系统 $p_n(x)$ ，其中 $L$ 为二阶 $q$ -差分算子， $q$ -Zhedanov 代数是由算子 $L$ 和 $X$ （乘以 $x$ ）生成的代数。它有两个关系式，其中本质上出现五个系数。一个或多个系数的消失对应于 Askey-Wilson 多项式的子族或极限族。从一个族指向另一个族的箭头表示在后一个族中又有一个系数消失。这给出了本文所给出的 $q$ -Zhedanov 图式。 $p_n(x)$ 的 $q$ -超几何表达式可解释为 $p_n(x)$ 按某些 Newton 多项式的展开。在我们之前的论文 arXiv:2108.03858 中，我们使用了 Verde-Star 对此类展开的洁净参数化，并得到了 $q$ -Verde-Star 图式，其中一个或多个这些参数的消失对应于子族或极限族。算子 $L$ 和 $X$ 在 Newton 多项式上的作用可用 Verde-Star 参数表示，因此 $q$ -Zhedanov 代数的系数也可用这些参数表示。 $q$ -Verde-Star 图式与 $q$ -Zhedanov 图式之间存在有趣的差异，本文对此进行了讨论。

关键词

$q$-Askey 图式 $q$-Zhedanov 代数 $q$-差分算子 Newton 多项式 Verde-Star 参数化 Askey-Wilson 多项式正交多项式

引用

@article{arxiv.2209.07995,
  title  = {Charting the $q$-Askey scheme. II. The $q$-Zhedanov scheme},
  author = {Tom H. Koornwinder},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2209.07995},
  year   = {2023}
}

备注

v3: 23 pages, 1 figure; dedicated to Jaap Korevaar on the occasion of his 100th birthday; Indag. Math., article in press; first paragraph of Introduction added; minor corrections; a few references added

绘制 $q$-Askey 图式。II. $q$-Zhedanov 图式

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