高维猫映射半经典测度支持的特征化

量子猫映射是量子混沌中与双曲对称矩阵 $A\in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{Z})$ 相关的模型。双曲对称矩阵的特征函数的序列的宏观极限由 torus $\mathbb{R}^{2n}/\mathbb{Z}^{2n}$ 上半经典测度来表征。我们证明，如果每个幂 $A^k$ 的特征多项式在有理数上都是不可约的，则每个半经典测度都具有完全支持。该证明使用了 Dyatlov-J\'ez\'equel [arXiv:2108.10463] 的早期策略，以及 Cohen [arXiv:2305.05022] 的更高维 fractal 不确定性原理。我们的不可约性条件在一般情况下是成立的，实际上我们证明了对于 100% 的矩阵 $A$，其特征多项式的 Galois 群是 $S_2 \wr S_n$。当不可约性条件不成立时，我们证明了半经典测度不能支持在平行于非共轭子 torus 上的有限并集。另一方面，我们给出了在 $n=2$ 时，受 Faure-Nonnenmacher-De Bi\`evre [arXiv:nlin/0207060] 在 $n=1$ 情况下的工作启发的，受支持于两个正交子 torus 联合的半经典测度的例子。这补充了 Kelmer [arXiv:math-ph/0510079] 受支持于单个共轭子 torus 的半经典测度的例子。