Dyson 模型流体动力学极限的刻画

在初始组态的适当条件下，具有参数 $\beta \geq 1$ 的 $N$ 粒子 Dyson 模型的经验测度当 $N$ 趋于无穷时收敛到一个唯一的测度值过程，该过程与 $\beta$ 无关。该极限过程由其称为格林函数的 Stieltjes 变换刻画。由于格林函数在无粘极限下满足复 Burgers 方程，这被称为 Dyson 模型的流体动力学极限。我们回顾格林函数流体动力学方程、概率密度函数连续性方程以及格林函数函数方程之间的关系。证明这些关系的基本工具是 Hilbert 变换、Sokhotski-Plemelj 定理的特例，以及求解偏微分方程的特征线法（method of characteristics）。对于两种特殊初始组态，我们演示了如何利用这些关系刻画极限过程。