Bar-Natan Zh-构造的刻画及其进一步应用

Bar-Natan 的 Zh-构造将每个 $n$ 分量虚拟链环图 $L$ 关联到一个 $(n+1)$ 分量虚拟链环图 $Zh(L)$。若 $L_0,L_1$ 是等价的虚拟链环图，则 $Zh(L_0),Zh(L_1)$ 作为半焊接链环是等价的。Zh-构造的重要性在于它将若干经典纽结不变量与虚拟纽结不变量统一起来。例如，虚拟链环图 $L$ 的广义 Alexander 多项式与 $Zh(L)$ 的通常多变量 Alexander 多项式相同。由此推得广义 Alexander 多项式是一个切片障碍：它在任何与几乎经典纽结共轭的纽结上消失。我们的主要结果是用几乎经典链环对 Zh-构造给出的一个刻画定理。我们探讨了该刻画的若干推论。首先，我们给出了 Zh-构造的一个纯几何描述。其次，利用 Zh-构造得到了 Dye-Kauffman-Miyazawa 多项式的一个简单推导。最后，我们证明每个 quandles 着色不变量和 quandle 2-上循环着色不变量都可通过 Zh-构造扩展为一个新不变量。