一类邻点传递码的刻画

我们将长度为 $m$、字母表大小为 $q$ 的码视为汉明图 $\Gamma=H(m,q)$ 顶点集的子集。若存在一个自同构群 $X\leq Aut(\Gamma)$ 在该码及其邻点集上均传递作用，则称该码为邻点传递码 (neighbour transitive)；这是作者引入的群论类比，对应于噪声信道中单错误等概率发生的假设。邻点传递码的实例包括汉明码、各类 Golay 码、某些 Hadamard 码、Nordstrom Robinson 码、某些置换码和频率置换阵列（后者与电力线通信有关），以及完全传递码（完全正则码的一个子类，后者本身已引起广泛关注）。已知对于任何最小距离至少为 3 的邻点传递码，存在 $X$ 的一个子群，其在码所定义的字母表上具有 2-传递作用。因此，根据 Burnside 定理，该作用属于殆单型或仿射型。若该作用为殆单型，则称该码为字母表殆单邻点传递码。本文刻画了一类邻点传递码，特别是最小距离至少为 $3$ 且群 $X$ 与 $Aut(\Gamma)$ 的基群具有非平凡交的字母表殆单邻点传递码。若 $C$ 是此类码，我们证明在同构意义下存在一个可完全描述的子码 $\Delta$，使得要么 $C=\Delta$，要么 $\Delta$ 是一个邻点传递频率置换阵列且 $C$ 是 $\Delta$ 的 $X$-平移的不交并。我们还证明了任何有限群都可以以一种自然的方式等同于一个邻点传递码。