某些Hardy-Berndt和的字符类比

在本文中，我们考虑如下变换公式\n$$B\left( z,s:\chi\right) =\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{n=0} ^{\infty}\chi(m)\chi(2n+1)\left( 2n+1\right) ^{s-1}e^{\pi im(2n+1)z/k}.$$\n我们推导了这些变换公式中出现的和的互反定理，并研究了它们的某些性质。借助欧拉--麦克劳林求和公式的字符类比，我们建立了Hardy-Berndt字符和 $s_{3,p}\left( d,c:\chi\right)$ 与 $s_{4,p}\left( d,c:\chi\right)$ 的积分表示。