Euler-Maruyama 格式的中心极限定理与自归一 Cramér 型中偏差

我们考虑一个随机微分方程及其 Euler-Maruyama（EM）格式，在适当条件下，二者均存在唯一的不变测度，分别记为 $\pi$ 和 $\pi_\eta$（$\eta$ 为 EM 格式的步长）。我们构造 EM 格式的经验测度 $\Pi_\eta$ 作为 $\pi_\eta$ 的统计量，并利用 \citet{FSX19} 发展的 Stein 方法证明 $\Pi_\eta$ 的中心极限定理。自归一 Cramér 型中偏差（SNCMD）的证明基于马尔可夫链的标准分解，将 $\eta^{-1/2}(\Pi_\eta(.)-\pi(.))$ 拆分为鞅差级数之和 $\mcl H_\eta$ 与可忽略余项 $\mcl R_\eta$。我们通过鞅的时间变换技术处理 $\mcl H_\eta$，同时利用集中不等式证明 $\mcl R_\eta$ 是指数可忽略的，后者本身具有独立意义。此外，我们证明 SNCMD 在 $x = o(\eta^{-1/6})$ 时成立，其阶与 \citet{shao1999cramer,JSW03} 中的经典结果相同。