affine $\mathfrak{sl}_{2|1}$ 在临界水平下的中心

本文阐述了与 $\mathfrak{sl}_{2|1}, \mathfrak{gl}_{2|1}$ 关联的普适仪射顶点超代数 $V^{\kappa_c}(\mathfrak g)$ 在临界水平 $\kappa_c$ 下的中心，并证明了A. Molev和E. Ragoucy在此情况下的猜想。 $\mathfrak{z}(V^{\kappa_c}(\mathfrak{sl}_{2|1}))$ 实际上等同于顶点子代数的大水平极限 $\ell \rightarrow \infty$，该子代数称为仪射顶点代数 $V^\ell(\mathfrak{sl}_2)$ 的 parafermion 顶点代数 $K^{\ell} (\mathfrak{sl}_2)$。本次证明的关键要素在于理解 $\mathfrak{sl}_{2|1}$ 在临界水平下的主 $W$-超代数 $W^{\kappa_c}(\mathfrak{sl}_{2|1})$。它将中心 $\mathfrak{z}(V^{\kappa_c}(\mathfrak{sl}_{2|1}))$ 通过Kazama-Suzuki 二面性联系到 $V^\infty(\mathfrak{sl}_2)$，而它在 $V^{\kappa_c}(\mathfrak{gl}_{1|1})$ 中的中心也具有惊人的一致性——后者的中心最近已被描述。此外，已证明 $\mathfrak{z}(V^{\kappa_c}(\mathfrak{sl}_{2|1}))$ 和 $\mathfrak{z}(W^{\kappa_c}(\mathfrak{sl}_{2|1}))$ 相等。提出了一个一般性猜想，描述当 $n>m$ 时 $\mathfrak{z}(V^{\kappa_c}(\mathfrak{sl}_{n|m}))$ 作为“双侧”大水平极限的中心，即描述与挂钩型分区 $[n-m,1^m]$ 关联的 $W$-代数 $W^\ell(\mathfrak{sl}_{n}, \mathbb{O}_{[n-m,1^m]})$ 的 parafermion 型子代数的中心，亦即称为顶点代数在角落处的极限。