Catalan 区间与三角剖分的实现

Stanley 格、Tamari 格和 Kreweras 格是定义在给定大小的 Catalan 对象集上的三个值得关注的序。这些格按包含关系排序：Stanley 格是 Tamari 格的扩展，而 Tamari 格是 Kreweras 格的扩展。Stanley 序可以定义在大小为 $n$ 的 Dyck 路径集上，作为“在上方”的关系。因此，Stanley 格中的区间是不交叉 Dyck 路径对。在先前的文章中，第二作者定义了不交叉 Dyck 路径对与三角剖分的实现（或 Schnyder 林）之间的双射 $\Phi$。我们给出了双射 $\Phi$ 的一个更简明的描述。然后，我们研究了 $\Phi$ 在 Tamari 区间和 Kreweras 区间上的限制。我们证明了 $\Phi$ 诱导了 Tamari 区间与极小实现之间的双射。这给出了 Tamari 区间与三角剖分之间的双射。我们还证明了 $\Phi$ 诱导了 Kreweras 区间与堆叠三角剖分的（唯一）实现之间的双射。因此，$\Phi$ 诱导了 Kreweras 区间与堆叠三角剖分之间的双射，已知后者与三叉树之间存在双射。