高维共形场论中的卡西米尔能量与模不变性

量子场论（QFT）中的一个重要问题是理解非平凡拓扑时空流形上可观测量的结构。此类可观测量在研究有限温度和/或有限体积的物理系统时会自然出现，并编码了底层微观理论常被平坦时空中掩盖的微妙性质。QFT 的局域性意味着这些可观测量可由更基本的构件沿空间截面切割-粘合而构造，其中关键要素是空间流形上的希尔伯特空间。在共形场论（CFT）中，得益于算子-态对应，我们对空间球面上的希尔伯特空间有非微扰的理解。然而考虑更一般空间流形仍具挑战。此处我们研究时空维数 $d>2$ 下空间流形 $T^2\times \mathbb{R}^{d-3}$ 上的 CFT，这是超出球面拓扑的最简单流形之一。我们聚焦该希尔伯特空间中的基态，并分析基态能量的普适性质，即通常所称的卡西米尔能量，它是环面复结构模 $\tau$ 的非平凡函数。卡西米尔能量受到环面上模不变性的约束，我们使用 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 谱理论阐明了这些约束。此外，我们利用 CFT 的 Kaluza-Klein 约化有效场论（EFT）推导了薄环面极限下卡西米尔能量的简单普适公式，并带有来自世界线瞬子的指数小修正。我们以知名 CFT 的显式例子说明了公式，包括 $d=3$ 的临界 $O(N)$ 模型与 $d\geq 3$ 的全息 CFT。