Cartan 矩阵与 Brauer 的 $k(B)$ 猜想 III

对于有限群的一个块 $B$，我们证明了 $k(B)\le(\det C-1)/l(B)+l(B)\le\det C$，其中 $k(B)$（分别为 $l(B)$）是 $B$ 的不可约普通特征标（分别为 Brauer 特征标）的个数，$C$ 是 $B$ 的 Cartan 矩阵。作为应用，我们证明了：若存在元素 $u\in D$ 使得 $C_T(u)$ 在 $D/<u>$ 上自由作用，则 Brauer 的 $k(B)$ 猜想对每个具有 Abel 缺陷群 $D$ 和惯性商 $T$ 的块均成立。这为秩至多为 2 的 Abel 缺陷群情形下的 Brauer 猜想提供了一个新证明。我们还证明了 $l(B)\le 3$ 情形下的该猜想。