多连通平面域上的Carathéodory球与真全纯映射

本文将在某些连通数大于$2$的有限连通平面域中，建立Carathéodory度量下闭球与开球闭包的不等价性，从而解决Jarnicki、Pflug与Vigué于1992年提出的一个问题。我们还对$n \ge 2$时的$\mathbb{C}^n$中某些伪凸域建立了相应结果。该结果源于对非退化有限连通平面域$\Omega$到标准单位圆盘$\mathbb{D}$的真全纯映射（模双全纯）的显式刻画，回答了Schmieder于2005年提出的一个问题。类似于Bell与Kaleem基于Grunsky映射(2008)对真全纯映射的刻画，我们从$\Omega$到$\mathbb{D}$的真全纯映射刻画是Fatou著名结果（单位圆盘到自身的真全纯映射为有限Blashcke乘积）的类似结论。我们的方法使用了Wang与Yin(2017)关于具有指定零点的真全纯映射存在的调和测度条件。我们将看到某些函数$\eta(\cdot,p)$起到了类似于有限Blaschke乘积中固定$\mathbb{D}$的Möbius变换的作用。这些函数$\eta(\cdot,p)$将$\Omega$共形映射到去除了圆弧（以0为中心）的单位圆盘，并将$p$映到$0$，且可用Schottky-Klein素函数表示。我们还推广了Grunsky(1941)的一个结果，从而引入了从$\Omega$到$\mathbb{D}$的真全纯映射的参数空间。