亏格一曲线的 capitulation 判别式

本文研究嵌入于 $\mathbb{P}^{n-1}$ 中的亏格一正规曲线的算术与不变量理论。我们将 Cremona、Fisher 和 Stoll 对 $n \leq 5$ 引入的 n 次亏格一模型的概念推广到任意奇数 $n$，并用其齐次理想的最小分次自由分解描述嵌入 $\mathbb{P}^{n-1}$ 中 n 次亏格一曲线的不变量理论。我们证明 $\mathbb{Q}$ 上处处局部可解的亏格一曲线容许最小整模型，其不变量与其雅可比椭圆曲线的最小模型的不变量相同。随后我们应用这些结果研究椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 的 Tate-Shafarevich 群的 capitulation 问题。我们证明 $\text{Sha}(E/\mathbb{Q})[n]$ 中每个奇指标 $n$ 的元素在 n 次数域 $K$ 上分裂，其绝对判别式至多为 $c(n) H_E^{2n-2}$，其中 $H_E$ 为 $E$ 的朴素高度，$c(n)$ 为仅依赖于 $n$ 的常数。