谱线为 1 曲线的逆 Hurwitz 计数

本文研究一个从某种意义上说颠倒了 Hurwitz 计数问题的问题。Hurwitz 计数问题询问：对于给定的目标——从连续函数中抽样得到的 $\mathbb P^1$ 上的 $n$ 个点 $q_1,\dots,q_n\in \mathbb P^1$，以及分区 $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ 的 $d$，有多少个次数为 $d$ 的覆盖 $C\to\mathbb P^1$ 在 $q_i$ 上的光滑度为 $\sigma_i$？我们询问：对于给定的源——次数为 $1$ 的 $r$ 点曲线 $(C,p_1,\dots,p_r)$，以及分区 $\mu, \sigma_1,\dots,\sigma_n$ 的 $d$，其中 $\ell(\mu)=r$，有多少个次数为 $d$ 的覆盖 $C\to\mathbb P^1$ 在光滑度为 $\mu$ 的 0 上的光滑度为 $\mu$，且在其他地方光滑度为 $\sigma_1,\dots,\sigma_n$？我们研究的枚举不变量与广义 Tevelev 度数相似，但一般情况下难以以封闭形式表示。尽管如此，我们确立了关键结果：在唯一非简单未标记光滑度 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 为“偶数”(由 $2,\dots,2$ 组成)的情形下，我们证明了封闭形式结果，随后建立了递归公式来计算其中每个未标记光滑度形式为 $(x,1,\dots,1)$ 的不变量。一个特殊情况询问：给定一个给定的 $d$ 点标记的次数为 $1$ 的曲线 $(E,p_1,\dots,p_d)$，有多少个次数为 $d$ 的覆盖 $(E,p_1,\dots,p_d)\to(\mathbb P^1,0)$ 在 $E$ 的 $d-2$ 个未指定点上具有光滑指数 $3$？我们表明答案是 $d$ 的一个显式四次式。