关于三重 Hurwitz 数结构的研究进展

在单重与双重 Hurwitz 数研究之外，我们报告了关于对应于涉及三个非简单分支点的黎曼球面分歧覆盖的 Hurwitz 数的若干研究进展。我们首先证明了一个递推式，它蕴含群代数理论中 Frobenius 枚举置换因式分解的基本恒等式。我们接着应用该递推式研究涉及三个非简单分支点（此外还有简单分支点）的 Hurwitz 数，其中两个具有确定性分歧轮廓，剩余一个具有指定的原像数。该递推式使我们获得这些数的递推关系及显式公式，其也推广了若干已有的单重与双重 Hurwitz 数结果。其中具有确定性轮廓的非简单分支点之一有唯一原像（单部分拟三重 Hurwitz 数或 $(1,m)$-部分三重 Hurwitz 数）的情形被特别详细地研究。我们证明了一个吸引人的降维公式，由此任一单部分拟三重 Hurwitz 数可约化为两个具有确定性轮廓均完全分歧的拟三重 Hurwitz 数。我们还获得了单部分拟三重 Hurwitz 数的多项式性，类似于由单重 Hurwitz 数著名的 ELSV 公式所蕴含者，并讨论了与交理论的潜在联系。