来自 $E_8$ 的曲线的算术不变量理论

设 $k$ 为特征 0 的域，设 $C/k$ 为唯一三叶 genus 4 曲线，并设 $P \in C(k)$ 为该唯一三叶态射的一个单分歧点。我们构造了将 $J_C(k)/2$ 中每个元素对应于一个 $E_8$ 型代数群作用于特定簇的轨道的映射。该代数群与簇独立于 $(C,P)$ 的选择。我们也对具有 $P \in C(k)$ 为三叶态射的全分歧点的唯一三叶 genus 4 曲线 $C$ 构造了类似识别。我们的映射类似于 Jack Thorne 所展示的将带有理点 $(C,P)$ 的 genus 3 曲线对应于 $E_7$ 型代数群轨道的映射。我们的映射也类似于 Bhargava 与 Gross 构造的映射，他们用它确定了超椭圆 Jacobian 的平均秩。