Hausdorff 容量下的 Muckenhoupt 权、BMO 与 BLO 空间、分解定理及其应用

设 $\delta\in(0,n]$,$p\in[1,\infty)$,$\mathcal H_{\infty}^\delta$ 表示 $\mathbb R^n$ 上的 Hausdorff 容量,$\mathcal A_{p,\delta}$ 为容量型 Muckenhoupt 权类。我们关注对所有维数 $\delta\in(0,n]$ 下,容量型 Muckenhoupt 权类 $\mathcal A_{p,\delta}$ 与 ${\rm{BMO}}(\mathbb R^n, \mathcal H_{\infty}^{\delta})$ 或 ${\rm{BLO}}(\mathbb R^n, \mathcal H_{\infty}^{\delta})$ 空间之间关系的理解,并进一步探究这两个空间的结构。我们的主要结果表明:对 $p\in(1,\infty)$,$\mathcal A_{p,\delta}$ 等价于 BMO 空间;而 $\mathcal A_{1,\delta}$ 等价于 BLO 空间,进而通过容量型 Hardy--Littlewood 极大算子得到这些 BMO 与 BLO 空间的分解定理,本质上将 Coifman 与 Rochberg 于 1980 年的主要结果推广到测度论之外。作为应用,通过建立若干容量型加权 John--Nirenberg 不等式,我们得到了容量型加权 BMO 或 BLO 空间分别与 ${\rm{BMO}}(\mathbb R^n, \mathcal H_{\infty}^{\delta})$ 或 ${\rm{BLO}}(\mathbb R^n, \mathcal H_{\infty}^{\delta})$ 的等价性。这些结果揭示了 $\mathcal A_{p,\delta}$ 与带 Hausdorff 容量的 BMO 或 BLO 空间之间超越经典测度论框架的深刻联系。我们在证明中发展了一些方法,并利用一个新的观察,即测度的可加性与积分的线性性对相应的经典理论而言是多余的。