Clifford 代数实表示的规范基

著名的 Clifford 代数 $Cl(r,s)$ 分类导致了复表示与实表示的规范形式,由 Wedderburn 定理它们本质上是唯一的。对于 $s\ge 1$,$Cl(r,s)$ 在 $R^{2N}$ 上的表示由在 $R^N$ 上的表示添加两个新生成元得到;而从 $Cl(p,0)$ 在 $R^N$ 上的表示过渡到 $Cl(r,0)$ 在 $R^{2N}$ 上的表示时,可添加的生成元数目为 1、2 或 4,取决于在 $R^N$ 上表示的 Clifford 代数是实型、复型还是四元数型。我们用半维数上的复结构与四元数结构表达了这些表示的规范形式,并给出了将任意给定 $Cl(r,s)$ 表示变换为规范形式的算法。我们将 $Cl(8d+c,0)$($c\le 7$)表示变换为规范形式的算法基于寻找 $Cl(8d+c,0)$ 的一个交换子代数及其不变子空间。文中给出了低维情形下显式确定变换所用基变换矩阵的计算机程序。基变换矩阵在差一个交换子意义下的唯一构造,给出了表示唯一性性质的构造性证明,并可能在计算机图形学与机器人学中有应用。