有限水平的典型Barsotti-Tate群

设$k$为特征$p>0$的代数闭域。设$c,d\in \mathbb{N}$满足$h=c+d>0$。设$H$为$k$上余维数$c$、维数$d$的$p$-可除群。对$m\in\mathbb{N}^\ast$令$H[p^m]=\ker([p^m]:H\rightarrow H)$。它是$k$上$p$幂阶的有限交换群概型,称为水平$m$的Barsotti-Tate群。我们研究一类特殊的$p$-可除群$H_\pi$,其中$\pi$是集合$\{1,2,\dots,h\}$上的一个置换。设$(M,\varphi_\pi)$为$H_\pi$的Dieudonné模。每个$H_\pi$由$H_\pi[p]$唯一确定,且存在一个$GL_M$的极大环面$T$,其李代数被$\varphi_\pi$以自然方式正规化。此外,若$H$是$k$上余维数$c$、维数$d$的$p$-可除群,则对某个置换$\pi$有$H[p]\cong H_\pi[p]$。我们称这些$H_\pi$为水平$1$的Barsotti-Tate群的典型提升。我们得到了关于$\boldsymbol{Aut}(H_\pi[p^m])$维数以及$\boldsymbol{End}(H_\pi[p^m])$连通分支数的组合型新公式。