若干混合特征情形下 Barsotti-Tate 群的纯性

设 $p$ 为素数。设 $R$ 为维数 $d\ge 2$ 的正则局部环，其完备同构于 $C(k)[[x_1,\ldots,x_d]]/(h)$，其中 $C(k)$ 为与 $R$ 有相同剩余域 $k$ 的 Cohen 环，且 $h\in C(k)[[x_1,\ldots,x_d]]$ 满足其模 $p$ 的约化不属于 $k[[x_1,\ldots,x_d]]$ 的理想 $(x_1^p,\ldots,x_d^p)+(x_1,\ldots,x_d)^{2p-2}$ 中。我们将 Vasiu-Zink（当 $d=2$ 时）的一个结果推广，证明 $\text{Frac}(R)$ 上每个延拓到 $\text{Spec}(R)$ 的每个维数为 $1$ 的局部环上的 Barsotti-Tate 群，唯一地延拓为 $R$ 上的 Barsotti-Tate 群。该结果在许多情形下纠正了文献中的若干错误。作为一个应用，我们得到：若 $Y$ 为正则整概形，使得 $Y$ 的每个剩余特征为 $p$ 的局部环的完备是某个绝对分歧指数 $e\le p-1$ 的完备离散赋值环上的形式幂级数环，则 $Y$ 的泛型点上每个延拓到 $Y$ 的每个维数为 $1$ 的局部环上的 Barsotti-Tate 群，唯一地延拓为 $Y$ 上的 Barsotti-Tate 群。