正弦型幂级数中的相消

我们提出一种方法来研究当 $x\to\infty$ 时类型 $$f(x):=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n c_n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ 的幂级数行为。我们将我们的方法应用于研究函数 $$f(t):=\int_0^t\frac{dx}{x}\int_0^x\frac{dy}{y}\int_0^y\frac{dz}{z}\bigl\{ \sin x+\sin(x-y)-\sin(x-z)-\sin(x-y+z)\bigr\}.$$ 我们将推导 $f(t)$ 的各种不同表示，借此将证明 $\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$，从而反驳 Z. Silagadze 的猜想，该猜想声称此极限等于 $-\pi^3/12$。