线性化 Hopf 幺半群对极的无相消公式

文献中的许多组合 Hopf 代数 $H$ 是一个线性化 Hopf 幺半群 $\bf H$ 的函子像。即 $H={\mathcal K} ({\bf H})$ 或 $H=\overline{\mathcal K} ({\bf H})$。与函子 $\overline{\mathcal K}$ 不同，作用于 ${\bf H}$ 的函子 ${\mathcal K}$ 可能不保持 ${\bf H}$ 的对极。此时，需要考虑更大的 Hopf 幺半群 ${\bf L}\times{\bf H}$ 以得到 $H={\mathcal K} ({\bf H})=\overline{\mathcal K}({\bf L}\times{\bf H})$ 并在 ${\bf L}\times{\bf H}$ 中研究对极。本文的主要结果之一给出了 ${\bf L}\times{\bf H}$ 对极的一个无相消且无重数公式。由该公式我们得到了 $H$ 的一个新对极公式。我们还探讨了 ${\bf H}$ 交换且余交换的情形。在此情形下，我们得到新的对极公式，尽管它们不是无相消的，但在某些情况下可用于得到 $\overline{\mathcal K}({\bf H})$ 的对极公式。我们也重新得到了文献中许多著名的无相消公式。我们计算 ${\bf H}$ 中对极的一个公式以超图的无环定向为核心工具。就此，我们得到了类似于图色多项式的多项式，以及平行于 Stanley 的 (-1)-着色定理的恒等式。我们的一个例子引入了置换的色多项式，其计数满足某种模式的置换的递增序列。我们还研究了此类多项式在 $-1$ 处求值后得到的统计量。最后，我们概述了结果的 $q$ 变形与几何解释。最后这部分将出现在与 J. Machacek 合作的后续论文中。