$C_{\lambda}$-扩张振子代数及其某些形变与在量子力学中的应用

从数学与应用观点研究了推广 Calogero-Vasiliev 代数的 $C_{\lambda}$-扩张振子代数,其中 $C_{\lambda}$ 是 $\lambda$ 阶循环群。得到了这些代数的 Casimir 算子,并用于在数算子谱非简并的假设下给出其酉不可约表示的完全分类。寻找具有类似于其未形变对应物的 Casimir 算子的形变代数,得到三种新的代数结构。其中之一包含 Brzezi\'nski 等人关于 Calogero-Vasiliev 代数的形变为特例。在其玻色 Fock 空间表示中,$C_{\lambda}$-扩张振子代数作为广义形变振子代数的实现被证明提供了几种超对称量子力学的玻色化:对任意 $\lambda$ 的 $p = \lambda-1$ 阶副超对称量子力学,以及对 $\lambda=3$ 的二阶伪超对称与正超对称量子力学。