作为 Lawvere 不动点定理推论的 Brouwer 不动点定理

本文探讨了在何种意义上 Brouwer 不动点定理可以被视为 Lawvere 不动点定理的一个推论。我们找到了 Lawvere 不动点定理的一个合适的推广，并确定了一种方法，通过该方法，一旦为某一类“良好”空间中的每个空间 $X$ 构造出一个合适的连续满射 $A' \rightarrow X^{A''}$，就可以证明 Brouwer 不动点定理是其推论，其中对于该类空间中的每一个，$X^{A''}$ 上的指数拓扑都存在，并且这里 $A'$ 和 $A''$ 具有相同的承载集，且 $A'$ 上的拓扑比 $A''$ 上的更细。研究表明，存在一种试图将 Brouwer 定理作为 Lawvere 定理的推论推导出来的自然方式，但这是不可能的，即不存在一个空间 $A$，使得 $[0,1]^{A}$ 上的指数拓扑存在，并且存在一个连续满射 $A \rightarrow [0,1]^{A}$。然后，我们从广泛的模型论视角，考察了与第一个结果中描述的现象类似的现象出现的语境范围，着眼于该问题的原始动机——由机器智能研究所提出的作为人工智能系统决策理论中的一个问题——的应用。